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杨文普和他的三疑三探

杨文普,河南省西峡县教体局书记兼一高校长,三疑三探课改专家。此博客为官方博客。

 
 
 

日志

 
 

教材中的不严谨  

2014-03-17 10:50:01|  分类: 著作论述 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在学习“函数的极值”一课前,我已要求学生初步预习了教材中的相关内容。本节课我所设计的教学环节是:教师给出教材中“极大值点”与“极小值点”的概念,并设置相关的典型问题作为自学指导,学生结合这些问题,首先独立自探,然后小组讨论、合作探究,最后总结出极值点的性质、求极值点的方法、极值与最值的联系等。

课堂上,当教学目标基本实现时,一个学生提出了他的疑问:“老师,我认为课本给出的‘极大值点’与‘极小值点’的概念是不严谨不准确的。例如‘极大值点’的概念:‘在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,则称点x0是函数y=f(x)的极大值点。’我认为这里的任何一点指的是区间(a,b)内的任何一点,当然也应包含x0点,那么就会出现y=f(x)在点x0的函数值小于点x0的函数值,这显然是不合理的。因此,我认为这个定义应修改为:‘在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都不大于点x0的函数值,则称点x0是函数y=f(x)的极大值点。’极小值点定义中的‘大于’应修改为‘不小于’,这样才合理。”

当这位同学发言结束时,我还盯着教材中的概念陷入沉思中……教室里首先是几秒钟的沉默,继而响起了热烈的掌声。学生都为他的大胆发现而惊诧,为他严谨求学、敢于质疑的精神所感动。我也被这个问题震惊了,这一点是我教学过程中没有注意也没有去深思的。于是我让学生以小组为单位进行3分钟的交流讨论。讨论内容是:“你觉得这位同学的观点有道理吗?你认为他的修改方案是否可行?你还有哪些不同的意见和补充?”

经过短暂的讨论,一个小组的代表站起来发言:“我很同意他对概念的质疑,这个概念确实是不严谨的,他的解释很有说服力,相信大家也能接受。但是我对他提出的修改方案不赞同。例如:给定区间(1,5),函数f(x)=1,若x0=3,显然x0∈(1,5),则y=f(x)在(1,5)内的任何一点的函数值都不大于x0处的函数值,那么能否说3y=f(x)的极大值呢?此时,y=f(x)在任何一点的函数值都不小于x0处的函数值,可以说3y=f(x)的极小值点吗?答案是否定的。所以我不同意他的修改建议。但是我们组没有想好如何修改,谁能给出更好的建议?”

紧接着,另一小组的代表发言:“既然概念不严谨的原因是点x0所导致的,因此我们认为可以这样修改:把概念中的‘任何一点’加上限制条件‘除x0外’,也就是说,极大值点概念可以叙述为‘在包含x0的一个区间(a,b)内,若函数y=f(x)在除x0外的任何一点的函数值都小于点x0的函数值,则称为函数y=f(x)的极大值点’,同理,极小值点的概念中也加上‘除x0外’,不知道大家认为如何?”

这位同学的回答得到了学生的一致赞同。然后,学生又提出了其他的质疑,如“可不可以把(a,b)改为[a,b]”等。这节课全班学生积极思考、畅所欲言,不仅收获了相关知识,还得出了一致的观点:在学习中生活中,不可拘泥于课本,不可生搬硬套,要有钻研和创新的精神,要勇敢发现问题、大胆解决问题。每个人的创造力都是不可估量的,只要敢于质疑和探索,一定会有更多有价值的发现和发明。

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